Arreglos con repetición y sin repetición.

 Los arreglos en matemáticas se refieren a la forma en que podemos ordenar un conjunto de elementos. Estos arreglos pueden ser con o sin repetición, y cada uno tiene sus propias características y aplicaciones.

Arreglos sin repetición

  • Definición: En un arreglo sin repetición, cada elemento del conjunto solo puede aparecer una vez en la ordenación.
  • Ejemplo: Imagina que tienes 5 libros diferentes y quieres ordenarlos en un estante. Cada ordenación distinta de los libros sería un arreglo sin repetición.
  • Aplicaciones: Se usan en problemas donde el orden de los elementos importa y no se pueden repetir. Por ejemplo, en la creación de contraseñas, la elección de un comité, etc.

Arreglos con repetición

  • Definición: En un arreglo con repetición, un mismo elemento puede aparecer varias veces en la ordenación.
  • Ejemplo: Imagina que tienes 3 bolas de colores: roja, azul y verde. Puedes formar diferentes secuencias de 3 bolas, incluso repitiendo colores. Por ejemplo, RRA, AAA, VVV, etc.
  • Aplicaciones: Se usan en problemas donde el orden de los elementos importa y los elementos pueden repetirse. Por ejemplo, en la formación de números de teléfono, en la creación de códigos de barras, etc.

¿Cuál es la diferencia entre ambos?

CaracterísticaArreglos sin repeticiónArreglos con repetición
Repetición de elementosNo se permiteSe permite
Orden de los elementosImportaImporta
EjemplosPermutaciones de un conjuntoNúmeros de teléfono, contraseñas

¿Cómo se calculan?

El cálculo del número de arreglos depende del tipo de arreglo y de la cantidad de elementos. Existen fórmulas específicas para cada caso.

  • Permutaciones: Se utilizan para calcular el número de arreglos sin repetición. La fórmula es:

    • P(n) = n! Donde n es el número total de elementos.
Se utiliza cuando se selecciona la totalidad de elementos.

  • Variaciones: Se utilizan para calcular el número de arreglos sin repetición cuando se selecciona un subconjunto de elementos. La fórmula es:

    • V(n, r) = n! / (n-r)! Donde n es el número total de elementos y r es el número de elementos a seleccionar.

  • Arreglos con repetición: El cálculo puede ser más complejo y depende de la cantidad de repeticiones de cada elemento. La formula general es:

Donde n es el número de elementos que se pueden elegir, es decir, el universo de elementos y k el número de elementos a elegir.

¿Cuándo usar cada uno?

La elección entre arreglos con o sin repetición depende del problema que estés resolviendo.

  • Usa arreglos sin repetición cuando:
    • El orden de los elementos importa.
    • Ningún elemento puede repetirse.
  • Usa arreglos con repetición cuando:
    • El orden de los elementos importa.
    • Los elementos pueden repetirse.

Ejemplo:

Arreglos sin repetición

Ejemplo: Imagina que tienes 5 libros diferentes (A, B, C, D, E) y quieres ordenarlos en un estante. Cada orden posible sería un arreglo sin repetición, ya que cada libro solo puede ocupar un lugar en el estante.

  • Posibles arreglos: ABCDE, BACDE, CABDE, ...
  • Cálculo: Para calcular el número total de arreglos, usaríamos la fórmula de permutaciones: P(n) = n!, donde n es el número de elementos. En este caso, P(5) = 5! = 120. Hay 120 formas diferentes de ordenar los 5 libros.

Arreglos con repetición

Ejemplo: Supongamos que tienes una máquina expendedora que vende 3 tipos de refrescos: Coca-Cola, Pepsi y Sprite. Quieres comprar 3 refrescos. En este caso, puedes comprar 3 Coca-Colas, o una de cada tipo, o cualquier otra combinación. Cada combinación sería un arreglo con repetición, ya que puedes elegir el mismo refresco varias veces.

  • Posibles arreglos: CCC, CPP, SPS, CPC, ...
  • Cálculo: El cálculo del número total de arreglos con repetición es un poco más complejo y depende de la cantidad de elementos y las restricciones del problema. En este caso, podríamos usar un árbol de decisiones o la fórmula general para arreglos con repetición:
Donde n = 3 tipos de refresco y k = 3 los refrescos que se desean, entonces:
3^3 = 27

Otro ejemplo más sencillo:

  • Dígitos de un número: Al formar un número de 4 dígitos usando los dígitos del 0 al 9, estamos creando arreglos con repetición, ya que podemos repetir un dígito (por ejemplo, 1122).
En este ejemplo n = 10 y k = 4, entonces tendríamos 10^4 = 10,000 combinaciones.

¿Cuál es la diferencia clave?

  • Sin repetición: Cada elemento solo puede aparecer una vez en el arreglo.
  • Con repetición: Los elementos pueden aparecer varias veces en el arreglo.


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