Medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central, también conocidas como medidas de centralización, son herramientas estadísticas que nos ayudan a identificar el valor "central" de un conjunto de datos. Son especialmente útiles para resumir y comparar conjuntos de datos.

Las tres medidas de tendencia central más comunes son:

1. Media: La media aritmética se calcula sumando todos los valores del conjunto de datos y dividiendo la suma por el número total de datos. Se representa matemáticamente como:

Media = (Σ xᵢ) / n

2. Mediana: La mediana es el valor que se encuentra en la posición central del conjunto de datos cuando se ordena de menor a mayor (o viceversa). Si el conjunto de datos tiene un número par de elementos, la mediana se calcula como el promedio de los dos valores centrales.

3. Moda: La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en el conjunto de datos. Es importante destacar que un conjunto de datos puede tener más de una moda, o incluso no tener ninguna.

¿Cuándo usar cada medida?

La elección de la medida de tendencia central más adecuada depende de las características del conjunto de datos y del objetivo del análisis.

• La media: es la medida más utilizada y recomendada cuando los datos están distribuidos de manera simétrica y no hay valores atípicos (valores muy alejados del resto).
• La mediana: es menos sensible a los valores atípicos que la media, por lo que es una mejor opción cuando los datos presentan asimetrías o valores extremos.
• La moda: es útil cuando se quiere identificar el valor más común o popular en el conjunto de datos.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un conjunto de datos que representa las alturas de 10 estudiantes:

{150 cm, 165 cm, 168 cm, 171 cm, 172 cm, 173 cm, 173 cm, 175 cm, 178 cm, 180 cm}

• Media: (150 + 165 + 168 + 171 + 172 + 173 + 173 + 175 + 178 + 180) / 10 = 171.4 cm
• Mediana: 172 cm (al ordenar los datos de menor a mayor, este valor se encuentra en la posición central).
• Moda: 173 cm (este valor es el que más se repite).

En este caso, la media y la mediana nos dan una idea similar de la altura promedio de los estudiantes, mientras que la moda nos indica que la altura más común es de 173 cm.

Media armónica.

La media armónica es una medida de tendencia central de un conjunto de datos, al igual que la media aritmética y la mediana. Sin embargo, a diferencia de estas dos medidas, la media armónica se calcula como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los datos.

En otras palabras, si tenemos un conjunto de datos {x₁, x₂, ..., xₙ}, la media armónica (H) se calcula como:

H = n / Σ(1/xᵢ)

Donde:

• n es el número de datos en el conjunto.
• xᵢ es cada uno de los datos del conjunto.

¿Para qué sirve la media armónica?

La media armónica es especialmente útil para promediar valores que representan tasas o razones, como velocidades, tiempos o rendimientos.

Por ejemplo, supongamos que queremos calcular la velocidad promedio de un viaje en automóvil que recorre 100 km en 2 horas y 30 minutos (2.5 horas).

Velocidad = Distancia / Tiempo = 100 km / 2.5 horas = 40 km/h

Ahora, supongamos que queremos calcular la velocidad promedio de un viaje en bicicleta que recorre 50 km en 1 hora y 30 minutos (1.5 horas) y un viaje en moto que recorre 75 km en 1 hora.

Velocidad bicicleta = 50 km / 1.5 horas = 33.33 km/h Velocidad moto = 75 km / 1 hora = 75 km/h

Si calculamos la media aritmética de estas tres velocidades, obtenemos:

(40 km/h + 33.33 km/h + 75 km/h) / 3 = 49.44 km/h

Sin embargo, esta media aritmética no refleja adecuadamente la velocidad promedio real del viaje, ya que da mayor peso a la velocidad más alta (la de la moto), a pesar de que el viaje en bicicleta fue más largo.

En este caso, la media armónica sería una medida más adecuada, ya que nos da una idea más precisa de la velocidad promedio real del viaje. Se calcula como:

H = 3 / (1/40 km/h + 1/33.33 km/h + 1/75 km/h) = 38.46 km/h

La media armónica es útil para promediar valores que representan tasas o razones, especialmente cuando hay grandes diferencias entre los valores individuales.

Es importante tener en cuenta que la media armónica no está definida si alguno de los datos del conjunto es igual a cero.

Media geométrica.

La media geométrica es una medida de tendencia central de un conjunto de datos, al igual que la media aritmética y la mediana. Sin embargo, a diferencia de estas dos medidas, la media geométrica se calcula como la raíz n-ésima del producto de todos los valores del conjunto de datos.

En otras palabras, si tenemos un conjunto de datos {x₁, x₂, ..., xₙ}, la media geométrica (G) se calcula como:

Donde:

• n es el número de datos en el conjunto.
• xᵢ es cada uno de los datos del conjunto.

¿Para qué sirve la media geométrica?

La media geométrica es especialmente útil para promediar valores que representan crecimientos o cambios porcentuales, como porcentajes de rentabilidad, tasas de interés o índices de precios.

Por ejemplo, supongamos que queremos calcular el rendimiento promedio anual de una inversión que ha tenido las siguientes rentabilidades anuales: 10%, 15% y 8%.

Rendimiento promedio anual = ³√(10% * 15% * 8%) = 10.62%

Si calculamos la media aritmética de estas tres rentabilidades, obtenemos:

(10% + 15% + 8%) / 3 = 11%

Sin embargo, esta media aritmética no refleja adecuadamente el rendimiento promedio real de la inversión, ya que no toma en cuenta el efecto del interés compuesto. La media geométrica, en cambio, sí lo hace, ya que nos da una idea más precisa de cómo ha crecido la inversión a lo largo de los años.

La media geométrica es útil para promediar valores que representan crecimientos o cambios porcentuales, especialmente cuando hay diferentes tasas de crecimiento o cambio.

Es importante tener en cuenta que la media geométrica no está definida si alguno de los datos del conjunto es igual a cero.

Relación entre las medias.

Las medias aritmética, geométrica y armónica son tres medidas de tendencia central que se utilizan para resumir un conjunto de datos. Si bien cada una tiene sus propias características y aplicaciones, existe una relación matemática entre ellas que puede ser útil para comprender sus propiedades y elegir la medida más adecuada para un análisis específico.

1. Desigualdad entre medias:

La relación más importante entre las medias aritmética, geométrica y armónica se establece mediante la siguiente desigualdad:

A ≥ G ≥ H

Donde:

• A representa la media aritmética.
• G representa la media geométrica.
• H representa la media armónica.

Esta desigualdad nos indica que, en un conjunto de datos no nulos, la media aritmética siempre será mayor o igual que la media geométrica, la cual a su vez será mayor o igual que la media armónica. Esta relación se cumple siempre que todos los valores del conjunto de datos sean positivos.

2. Interpretación geométrica:

La desigualdad entre medias puede interpretarse geométricamente utilizando el concepto de volumen de un paralelepípedo.

Imaginemos un paralelepípedo cuyas dimensiones son iguales a los valores del conjunto de datos. El volumen de este paralelepípedo estará relacionado con las medias de la siguiente manera:

• El volumen máximo se obtiene cuando las dimensiones del paralelepípedo son proporcionales a las raíces cúbicas de la media aritmética. Este volumen coincide con el valor de la media aritmética elevada a la potencia 3/n (donde n es el número de datos).
• El volumen intermedio se obtiene cuando las dimensiones del paralelepípedo son proporcionales a las raíces n-ésimas de la media geométrica. Este volumen coincide con el valor de la media geométrica elevada a la potencia 1/n.
• El volumen mínimo se obtiene cuando las dimensiones del paralelepípedo son inversamente proporcionales a los valores del conjunto de datos, es decir, son proporcionales a los recíprocos de la media armónica. Este volumen coincide con el valor de la media armónica elevado a la potencia 1/n.

3. Casos de igualdad:

La desigualdad entre medias se convierte en una igualdad en los siguientes casos:

• Todos los valores del conjunto de datos son iguales: En este caso, las tres medias coinciden en un único valor común.
• El conjunto de datos tiene solo dos valores: En este caso, las medias aritmética y geométrica coinciden, y ambas son mayores que la media armónica.

4. Aplicaciones de la relación entre medias:

La relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica tiene diversas aplicaciones prácticas, por ejemplo:

• Análisis de distribuciones de datos: La desigualdad entre medias puede ser útil para identificar la forma de la distribución de un conjunto de datos. Por ejemplo, si la media aritmética es significativamente mayor que la media geométrica, esto puede indicar que la distribución tiene una asimetría positiva (cola derecha más larga).
• Comparación de conjuntos de datos: La relación entre las medias puede ser utilizada para comparar dos o más conjuntos de datos. Por ejemplo, si un conjunto de datos tiene una media aritmética y geométrica más altas que otro conjunto, esto puede indicar que el primer conjunto tiene valores más concentrados y "típicos".
• Selección de la medida de tendencia central: La comprensión de la relación entre las medias puede ayudar a elegir la medida de tendencia central más adecuada para un análisis específico. Por ejemplo, si el conjunto de datos tiene valores muy dispersos o atípicos, la media armónica puede ser una mejor opción que la media aritmética.

La relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica proporciona información valiosa sobre las características de un conjunto de datos y puede ser utilizada para diversos fines analíticos.