Permutaciones circulares

¿Qué son las permutaciones circulares?

Imagina que tienes a un grupo de personas y quieres sentarlas alrededor de una mesa redonda. ¿De cuántas formas diferentes puedes ordenarlas? Aquí es donde entran en juego las permutaciones circulares.

A diferencia de las permutaciones "normales" donde el orden de los elementos importa y hay un principio y un final definidos, en las permutaciones circulares:

  • No hay un principio ni un final: Al ser un círculo, cualquier posición puede considerarse como el inicio.
  • El orden importa: Dos arreglos son diferentes si los elementos están en un orden distinto.

¿Por qué son diferentes a las permutaciones normales?

Si intentaras calcular el número de formas de sentar a las personas como si estuvieran en una fila (una permutación normal), estarías contando algunas disposiciones varias veces. Por ejemplo, si tienes 4 personas (A, B, C, D), las siguientes disposiciones serían consideradas diferentes en una permutación normal, pero son la misma en una circular:

  • ABCD
  • BCDA
  • CDAB
  • DABC

En todas estas, el orden relativo de las personas es el mismo, solo que el punto de partida ha cambiado.

¿Cuál es la fórmula?

Para calcular el número de permutaciones circulares de n elementos, se utiliza la siguiente fórmula:

PCn = (n - 1)!

Donde:

  • PCn: Número de permutaciones circulares de n elementos.
  • n!: Factorial de n (el producto de todos los números enteros positivos desde n hasta 1).

¿Por qué restamos 1 al factorial?

La razón por la que restamos 1 al factorial es porque al ser un círculo, una de las posiciones queda determinada por las demás. Es decir, si fijamos la posición de una persona, las demás se ordenarán automáticamente.

Ejemplo:

¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa redonda?

PC5 = (5 - 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Entonces, hay 24 formas diferentes de sentar a 5 personas alrededor de una mesa redonda.

En resumen:

  • Las permutaciones circulares se utilizan cuando los elementos se ordenan en un círculo.
  • No hay un principio ni un final definido.
  • La fórmula para calcularlas es PCn = (n - 1)!.
  • Se resta 1 al factorial porque una de las posiciones queda determinada por las demás.


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